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系统的数学模型微分方程与传输算子

发布时间:2020-06-30 18:19:30 阅读: 来源:轴承钢厂家

不涉及任何数学变换,而直接在时间变量域内对系统进行分析,称为系统的时域分析。其方法有两种:时域经典法与时域卷积法。

本文引用地址:时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方法的优点是直观,物理概念清楚,缺点是求解过程冗繁,应用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前,人们普遍喜欢采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法),而较少采用时域经典法。20世纪50年代以后,由于δ(t)函数及计算机的普遍应用,时域卷积法得到了迅速发展,且不断成熟和完善,已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域分析法的基础。

在本章中,首先建立系统的数学模型——微分方程,然后用经典法求系统的零输入响应,用时域卷积法求系统的零状态响应,再把零输入响应与零状态响应相加,即得系统的全响应。其思路与程序是:

其次,将介绍:系统相当于一个微分方程;系统相当于一个传输算子H(p);系统相当于一个信号——冲激响应h(t)。对系统进行分析,就是研究激励信号f(t)与冲激响应信号h(t)之间的关系,这种关系就是卷积积分。

2-1 系统的数学模型——微分方程与传输算子

研究系统,首先要建立系统的数学模型——微分方程。建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束:拓扑约束(KCL,KVL)与元件约束(元件的时域伏安关系)。为了使读者容易理解和接受,我们采取从特殊到一般的方法来研究。

图2-1(a)所示为一含有三个独立动态元件的双网孔电路,其中 为激励, , 为响应。对两个网孔回路可列出KVL方程为

上两式为含有两个待求变量 , 的联立微分积分方程。

为了得到只含有一个变量的微分方程,

须引用微分算子 ,即

, ,…,

在引入了微分算子 后,上述微分方程即可写

(2-1)

根据式(2-1)可画出算子形式的电路模型,如图2-1(b)所示。将图2-1(a)与(b)对照,

可很容易地根据图2-1(a)画出图2-1(b),即将L改写成Lp,将C改写成 ,

其余一切均不变。当画出了算子电路模型后,即可很容易地根据图2-1(b)算子电路模型列写出式(2-1)。

给式(2-1)等号两端同时左乘以p,即得联立的微分方程,即

将已知数据代入上式,得

(2-2)

用行列式法从式(2-2)中可求得响应i1(t)为

注意,在上式的演算过程中,消去了分子与分母中的公因子p。这是因为所研究的电路是三阶的,

因而电路的微分方程也应是三阶的。但应注意,并不是在任何情况下分子与分母中的公因子都可消去。

有的情况可以消去,有的情况则不能消去,视具体情况而定。故有

上式即为待求变量为i1(t)的三阶常系数线性非齐次常微分方程。

方程等号左端为响应i1(t)及其各阶导数的线性组合,

等号右端为激励f(t)及其各阶导数的线性组合。

利用同样的方法可求得i2(t)为

上式即为描述响应i2(t)与激励f(t)关系的微分方程。

推广之,对于n阶系统,若设y(t)为响应变量, f(t)为激励,如图2-2所示,则系统微分方程的一般形式为

(2-3)

用微分算子 表示则为

或写成

又可写成

式中

称为系统或微分方程式(2-3)的特征多项式;

(2-4)

H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或转移算子,它为p的两个实系数有理多项式之比,

其分母即为微分方程的特征多项式D(p)。H(p)描述了系统本身的特性,与系统的激励和响应无关。

这里指出一点:字母p在本质上是一个微分算子,但从数学形式的角度,以后可以人为地把它看成是

一个变量(一般是复数)。这样,传输算子H(p)就是p的两个实系数有理多项式之比。

例2-1 图2-3(a)所示电路。求响应u1(t),u2(t)对激励 的传输算子及u1(t),u2(t)分别对i(t)的微分方程。

解 其算子形式的电路如图2-3(b)所示。对节点①,②列算子形式的KCL方程为

代入数据得

对上式各项同时左乘以p,并整理得

用行列式法联解得

故得u1(t)对i(t),u2(t)对i(t)的传输算子分别为

进而得u1(t),u2(t)分别对i(t)的微分方程为

可见,对不同的响应u1(t),u2(t),其特征多项式 都是相同的,

这就是系统特征多项式的不变性与相同性。

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